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题目
已知数列{an}与圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若a1=-3,则当圆C1的半径最小时,求出圆C1的方程.

提问时间:2020-07-26

答案
(1)圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0转化为:(x-an)2+(y+an+1)2=an2+an+12+1
圆心坐标为:(an,an+1),半径为:
an2+an+12+1

圆C2,(x+1)2+(y+1)2=4,圆心坐标为:(-1,-1),半径为2,
圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长.
则:|C1C2|2+r22=r12
即:(an+1)2+(an+1-1)2+4=an2+an+12+1
求得:an+1-an=
5
2
(常数),
所以:数列{an}是等差数列,
(2)由于a1=-3,
根据(1)的结论求得:an=
5
2
n-
11
2

r=
an2+an+12+1
=
1
2
50n2-170n+161

当n=2时,r最小,所得的圆的方程为:x2+y2+x+4y-1=0.
(1)首先把圆的一般式转化为标准式,进一步利用特殊位置关系求出关系式,最后求的结论.
(2)利用二次函数的最值问题求得圆的方程.

圆的一般方程;等差数列的通项公式.

本题考查的知识要点:圆的一般式与顶点式的转化,等差数列定义的应用,二次函数最小值问题的应用.属于中等题型.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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