题目

若不等式x^2-m(4xy-y^2）+4m^2y^2大于等于0对一切非负实数x,y恒成立,试求实数m的取值范围.

提问时间：2020-07-26

答案

因为x²-m(4xy-y²）+4m²y²
=x²-4mxy+my²+4m²y²
=(x-2my)²+my²≥0对任意的非负实数x,y恒成立,
显然,m≥0满足题意.
若m＜0,由(x-2my)²+my²≥0得
[(x/y)-2m]²+m≥0.
而x、y均为非负数,则x/y≥0,即有[(x/y)-2m]≥-2m≥0,
[(x/y)-2m]²≥4m²,
所以,m＜0时,[(x/y)-2m]²+m≥0对一切非负实数x,y恒成立的充要条件为
4m²+m≥0,即m≤-1/4.
综合可知,m取值范围为m≤-1/4或m≥0.