题目
如图所示,以△ABC的三边为边,分别作三个等边三角形.
(1)求证四边形ADEF是平行四边形;
(2)△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形是矩形?
(3)这样的平行四边形ADEF是否总是存在?
(1)求证四边形ADEF是平行四边形;
(2)△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形是矩形?
(3)这样的平行四边形ADEF是否总是存在?
提问时间:2020-07-26
答案
(1)证明:∵△ABD,△BCE,△ACF都是等边三角形,
∴AB=BD=AD,∠ABD=∠EBC=∠BCE=∠ACF=60°,
BC=BE=CE,AC=AF=FC.
∵∠ABD=∠EBC=60°,
∴∠ABD-∠ABE=∠EBC-∠ABE.
∴∠DBE=∠ABC,
∴△DBE≌△ABC,
∴DE=AC.
∵AC=AF,
∴DE=AF.
同理可得,△EFC≌△BAC,
得EF=AB,
∴EF=AD,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)当AB=AC时,四边形ADEF是菱形.理由如下:
∵AB=AD,AF=AC,
又AB=AC,
∴AD=AF.
又∵四边形ADEF为平行四边形,
∴平行四边形ADEF是菱形.
当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.
理由如下:
∵∠BAD=∠CAF=60°,∠BAC=150°,∠BAD+∠CAF+∠BAC+∠DAF=360°,
∠DAF=90度.
又∵四边形ADEF是平行四边形,
∴四边形平行四边形ADEF是矩形.
(3)当∠BAC=60°时,不存在这样的平行四边形ADEF.理由如下:
∵当∠BAC=60°时,
有∠DAF=60°+60°+60°=180°,
即D,A,F三点在同一直线上时,不存在这样的平行四边形ADEF.
∴AB=BD=AD,∠ABD=∠EBC=∠BCE=∠ACF=60°,
BC=BE=CE,AC=AF=FC.
∵∠ABD=∠EBC=60°,
∴∠ABD-∠ABE=∠EBC-∠ABE.
∴∠DBE=∠ABC,
∴△DBE≌△ABC,
∴DE=AC.
∵AC=AF,
∴DE=AF.
同理可得,△EFC≌△BAC,
得EF=AB,
∴EF=AD,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)当AB=AC时,四边形ADEF是菱形.理由如下:
∵AB=AD,AF=AC,
又AB=AC,
∴AD=AF.
又∵四边形ADEF为平行四边形,
∴平行四边形ADEF是菱形.
当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.
理由如下:
∵∠BAD=∠CAF=60°,∠BAC=150°,∠BAD+∠CAF+∠BAC+∠DAF=360°,
∠DAF=90度.
又∵四边形ADEF是平行四边形,
∴四边形平行四边形ADEF是矩形.
(3)当∠BAC=60°时,不存在这样的平行四边形ADEF.理由如下:
∵当∠BAC=60°时,
有∠DAF=60°+60°+60°=180°,
即D,A,F三点在同一直线上时,不存在这样的平行四边形ADEF.
举一反三
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