题目

在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC=

3

，且AD⊥BC，对角线BD=

13

2

，AC=

3

2

，AC和BD所成的角是（　　）
A.

π

3

B.

π

4

C.

π

2

D.

π

12

提问时间：2020-07-26

答案

分别取BC、AD、CD、BD、AB中点E、F、G、H、I，连接EF、EG、EI、FG、FI、GH、GI、HI∵△BCD中，GE是中位线，∴GE∥BD且GE=12BD同理可得FI∥BD且FI=12BD∴GE∥FI且GE=FI，得四边形EGFI是平行四边形∵FG∥AC，GE∥BD∴...

分别取BC、AD、CD、BD、AB中点E、F、G、H、I，连接EF、EG、EI、FG、FI、GH、GI、HI，可得∠FGE、∠GHI（或其补角）分别是AC和BD、AD和BC所成的角．平行四边形EGFI中，利用平方关系算出EF=1，从而在△FGE中得到GF²+GE²=EF²，得∠FGE=

π

2

，即得异面直线AC和BD所成的角为

π

2

．

本题考点：异面直线及其所成的角．

考点点评：本题在空间四边形ABCD中，已知相对棱的长度和所成角，并且知道对角线长度的情况下求对角线所成角大小，着重考查了空间四边形的性质和异面直线所成角求法等知识，属于中档题．