题目

求函数f(x)=根号(x^4-3x^2+13)-根号(x^4-x^2+1)的最大值

提问时间：2020-07-26

答案

f(x)=根号(x^4-3x^2+13)-根号(x^4-x^2+1) 令x^2=t
则原式=根号(t^2-3t+13)-根号(t^2-t+1)
=根号[(t-3/2)^2+43/4]-根号[(t-1/2)^2+3/4]
=根号[(t-3/2)^2+(0-根号43/2)^2]-根号[(t-1/2)^2+(0-根号3/2)^2]
###附注：(0-根号43/2)^2=(-根号43/2)^2=43/4,(0-根号3/2)^2=(-根号3/2)^2=3/4 ###
式中“根号[(t-3/2)^2+(0-根号43/2)^2] “可表示为点(t,0)与点(3/2,根号43/2)的距离；
根号“[(t-1/2)^2+(0-根号3/2)^2] “ 可表示为点(t,0)与点(1/2,根号3/2)的距离.
那么点(t,0)、点(3/2,根号43/2)、点(1/2,根号3/2)可看做是三角形的三个顶点.
三角形两边之差小于第三边,
所以根号[(t-3/2)^2+(0-根号43/2)^2]-根号[(t-1/2)^2+(0-根号3/2)^2]小于点(3/2,根号43/2)与点(1/2,根号3/2)的距离.即小于跟号[(3/2-1/2)^2+(根号43/2-根号3/2)^2]=(25-根号129)/2
所以求得(25-根号129)/2是原式的最大值.
补充：那么t=?时,能取得这个最大值呢?
点(3/2,根号43/2)与点(1/2,根号3/2)连接所得的
直线表达式是：y=[(根号43-根号3)/2]x-(根号43-3倍的根号3)/4
它与横坐标轴的交点是(17-根号129)/40,0),这一点就是使原式获得最大值的(t,0)点.
##因为这时这三个顶点在一条直线上,两边之差等于第三边##
“强调” 在坐标轴上把这三个点,三角形,答题描出来,会一目了然.