题目

设函数f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx，g（x）=x²，
（I）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求实数p的值；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围．

提问时间：2020-07-26

答案

（Ⅰ）方法一：∵f′(x)＝p+

p

x2

−

2

x

，∴f'（1）=2p-2．
设直线，并设l与g（x）=x²相切于点M（x₀，y₀）
∵g'（x）=2x，∴2x₀=2p-2，解得
∴x0＝p−1，y0＝(p−1)2，
代入直线l方程解得p=1或p=3．
方法二：将直线方程l代入y=x²得2（p-1）（x-1）=0，
∴△=4（p-1）²-8（p-1）=0，
解得p=1或p=3．
（Ⅱ）∵f′(x)＝p+

p

x2

−

2

x

=

px2−2x+p

x2

．．
①要使f（x）为单调增函数，f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）恒成立，即p≥

2x

x2+1

＝

2

x+ 1 x

在（0，+∞）恒成立，
又

2

x+ 1 x

≤1，所以当p≥1，此时f（x）在（0，+∞）为单调增函数；   
②要使f（x）为单调减函数，须f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即在（0，+∞）恒成立，即p≤

2x

x2+1

，（0，+∞）恒成立，又

2x

x2+1

≥0，所以p≤0．当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上，若f（x）在（0，+∞）为单调函数，则p的取值范围为p≥1或p≤0．

（I）分别求出f（x），g（x）的导数，利用直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，求出它们导数之间的关系．
（II）f（x）在其定义域内为单调函数，则说明导数f'（x）＞0，或f'（x）＜0，恒成立．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查导数的应用，要正确理解函数单调性与导数之间的关系．当函数函数单调递增时，得f'（x）≥0，不能漏掉等号．