题目

在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x²+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．

提问时间：2020-07-26

答案

．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f（x）=x²+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
令y=0得x²+Dx+F=0这与x²+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．
令x=0得y²+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=-b-1．
所以圆C的方程为x²+y²+2x-（b+1）y+b=0．
（3）圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点（x₀，y₀）（x₀，y₀不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x₀²+y₀²+2x₀-y₀+b（1-y₀）=0（*）
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1-y₀=0，结合（*）式得x₀²+y₀²+2x₀-y₀=0，解得

x0＝0 y0＝1

或

x0＝−2 y0＝1

经检验知，（-2，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（-2，1）和（0，1）．

（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；
（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；
（3）设圆的方程过定点（x₀，y₀），将其代入圆的方程得x₀²+y₀²+2x₀-y₀+b（1-y₀）=0，因为x₀，y₀不依赖于b得取值，所以得到1-y₀=0即y₀=1，代入x₀²+y₀²+2x₀-y₀=0中即可求出定点的坐标．

本题考点：二次函数的图象；圆的标准方程．

考点点评：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．