题目

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)过点（2,0）,且离心率为√3/2,1.求椭圆C的方程（X^2/4+Y^2/2 =1)
2.A1,A2为椭圆C的左,右顶点,直线L:X=2√2与X轴交于点D,点P是椭圆C上异于A1,A2的动点,直线A1P,A2P分别交直线L于E,F两点,证明│DE│*│DF│恒为定值1

提问时间：2020-07-26

答案

1、c/a=√3/2,得c=√3/2a,b^2=a^2-c^2=1/4a^2,
再把（2,0）代入椭圆C的方程,易求得a^2=4,b^2=1
所以方程为：X^2/4+Y^2 =1
2,证明：设P（X.,Y.）,K（A1P）=Y./（X.+2）,
所以A1P的方程为：Y=Y./（X.+2）*（X+2）
当X=2√2,Y=Y./（X.+2）*（2√2+2）,即│DE│=Y./（X.+2）*（2√2+2）,
同理A2P的方程为：Y=Y./（X.-2）*（2√2-2）,│DF│=Y./（2-X.）*（2√2-2）（因为X.小于2）,
所以│DE│*│DF│=4Y.^2/(4-X.^2),又P（X.,Y.）点在椭圆X^2/4+Y^2 =1上,
所以X.^2+4Y.^2=4,即4Y.^2=4-X.^2,所以│DE│*│DF│=1