题目

已知椭圆C的离心率e=√6/3,一条准线方程为x=3√2/2
设动点P满足：OP向量=OM向量+ON向量,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1/3,问：是否存在两个定点A,B,使得PA+PB为定值?若存在,求A,B的坐标；若不存在,说明理由

提问时间：2020-07-26

答案

由——椭圆C的离心率e=√6/3,一条准线方程为x=3√2/2
可得到：
a=√3,b=1,c=√2
∴x²/3-y²=1
解方程组-椭圆与过原点的直线方程y=kx
{x²/3-y²=1
{y=kx 可以得到x=±√(3/1+3k²）,y=±k√(3/1+3k²）

设M,N的点坐标为（X1,Y1）,(X2,Y2),P的点坐标为（x0,y0)
其中x0=X1+X2,y0=Y1+Y2
M,N同时符合方程组--这里过OM的直线斜率设为k,则过ON点的直线斜率为-1/3k

所以可以得到X1,Y1,X2,Y2关于k的坐标方程——k是唯一未知数
∴X1=±√(3/1+3k²）,Y1=±k√(3/1+3k²）、X2=±3k√1/(1+3k²）,Y2=±√1/(1+3k²）
x0=±（3k+√3）√1/(1+3k²）,y0==±（√3k-1）√1/(1+3k²）

将x0,y0分别平方后得到
x0²=3+6√3k/(1+3k²）,y0²=1-2√3k/(1+3k²）

观察易得x0²/3+y0²=2
既得x0,y0是双曲线上的点,双曲线方程为：x0²/6+y0²/2=1
所以存在两个定点A,B使得PA+PB为定值
A=（2√2,0）,B=（-2√2,0）