题目
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2
(1)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
(2)计算f(0)+f(1)+f(2)+·········+f(2012)
一定要具体.
(1)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
(2)计算f(0)+f(1)+f(2)+·········+f(2012)
一定要具体.
提问时间:2020-07-26
答案
因为 f(x+2)=-f(x),所以 f(x+4) = -f(x+2)
所以 f(x) = f(x+4)
则f(x) 的周期为4.
x∈[-2,0] 时,-x∈[0,2],
则f(-x)=2(-x)-(-x)^2=-2x- x^2,
因为f(x)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-[ -2x- x^2]= 2x+x^2 (x∈[-2,0] 时).
当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
所以f(x-4)=2(x-4)+(x-4)^2
因为f(x) 的周期为4,
所以f(x)=f(x-4)= 2(x-4)+(x-4)^2
=x^2-6x+8(x∈[2,4]时).
当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2
当x∈[2,4]时,f(x)= =x^2-6x+8
所以f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.
f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.
因为f(x) 的周期为4,
所以f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2012)
= [f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+[ f(4)+f(5)+f(6)+f(7)]+……+[ f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)]+ f(2012)
=0+0+……+0+ f(2012)
= f(0)
=0.
所以 f(x) = f(x+4)
则f(x) 的周期为4.
x∈[-2,0] 时,-x∈[0,2],
则f(-x)=2(-x)-(-x)^2=-2x- x^2,
因为f(x)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-[ -2x- x^2]= 2x+x^2 (x∈[-2,0] 时).
当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
所以f(x-4)=2(x-4)+(x-4)^2
因为f(x) 的周期为4,
所以f(x)=f(x-4)= 2(x-4)+(x-4)^2
=x^2-6x+8(x∈[2,4]时).
当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2
当x∈[2,4]时,f(x)= =x^2-6x+8
所以f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.
f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.
因为f(x) 的周期为4,
所以f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2012)
= [f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+[ f(4)+f(5)+f(6)+f(7)]+……+[ f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)]+ f(2012)
=0+0+……+0+ f(2012)
= f(0)
=0.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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