题目

若m为整数，在使m²+m+4为完全平方数的所有m的值中，设其最大值为a，最小值为b，次小值为c．
（1）求a、b、c的值；
（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以

2

，同时求其差再除以

2

，加上剩下的一个数，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，得到2004，2005，2006？证明你的结论．

提问时间：2020-07-26

答案

（1）设m2+m+4=k2（k为非负整数），则有m2+m+4-k2=0，由m为整数知其△为完全平方数，即1-4（4-k2）=p2（p为非负整数），（2k+p）（2k-p）=15，显然：2k+p＞2k-p，所以2k+p＝152k−p＝1或2k+p＝52k−p＝3，解得p=7或p...

（1）设m²+m+4=k²（k为非负整数），则有m²+m+4-k²=0，由m为整数知其△为完全平方数，即1-4（4-k²）=p²（p为非负整数），（2k+p）（2k-p）=15，显然2k+p＞2k-p，再分别求出a、b、c的值即可．
（2）根据题意所述进行计算可得出规律，继而可判断出答案．

本题考点：完全平方数．

考点点评：本题考查了对完全平方数的理解，拓展应用是解此题的关键，要打破思维常规进行分析．