题目

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，S₄=2S₂+4，b

提问时间：2020-07-26

答案

（1）∵S₄=2S₂+4，∴4a1+

3×4

2

d＝2(2a1+d)+4，解得d=1，
（2）∵a1＝−

5

2

，∴数列a_n的通项公式为 an＝a1+(n−1)＝n−

7

2

，∴bn＝1+

1

an

＝1+

1

n− 7 2

，
∵函数f(x)＝1+

1

x− 7 2

在(−∞，

7

2

)和(

7

2

，+∞)上分别是单调减函数，
∴b₃＜b₂＜b₁＜1，当n≥4时，1＜b_n≤b₄，∴数列{b_n}中的最大项是b₄=3，最小项是b₃=-1．
（3）由bn＝1+

1

an

 得  bn＝1+

1

n+a1−1

，
又函数f(x)＝1+

1

x+a1−1

在（-∞，1-a₁）和（1-a₁，+∞）上分别是单调减函数，
且x＜1-a₁ 时，y＜1；x＞1-a₁时，y＞1．
∵对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈，∴7＜1-a₁＜8，∴-7＜a₁＜-6，∴a₁的取值范围是（-7，-6）．