题目
如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线
y=ax^2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.
y=ax^2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.
提问时间:2020-07-25
答案
(1)A(1,4)
由题意知,可设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4
∵抛物线过点C(3,0),
∴0=a(3-1)2+4,
解得,a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3
(2)∵A(1,4),C(3,0),
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6.
∵点P(1,4-t).…(3分)
∴将y=4-t代入y=-2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+t2
∴点G的横坐标为1+t2,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4-t²4
∴GE=(4-t²4)-(4-t)=t-t²4
又点A到GE的距离为t2,C到GE的距离为2-t2
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=12•EG•t2+12•EG(2-t2)=12•2(t-t²4)=-14(t-2)2+1
当t=2时,S△ACG的最大值为1
(3)第一种情况如图1所示,点H在AC的上方,由菱形CQHE知CQ=CE=t,
根据△APE∽△ABC,知
APAB=AEAC即t4=2根号5-t2根号5,解得,t=20-8根号5
第二种情况如图2所示,点H在AC的下方,由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t,PE=12t
,EM=2-12t,MQ=4-2t.
则在直角三角形EMQ中,根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2-12t)2+(4-2t)2=t2
解得,t1=2013,t2=4(不合题意,舍去).
综上所述,t=20-8根号5或t=2013
由题意知,可设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4
∵抛物线过点C(3,0),
∴0=a(3-1)2+4,
解得,a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3
(2)∵A(1,4),C(3,0),
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6.
∵点P(1,4-t).…(3分)
∴将y=4-t代入y=-2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+t2
∴点G的横坐标为1+t2,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4-t²4
∴GE=(4-t²4)-(4-t)=t-t²4
又点A到GE的距离为t2,C到GE的距离为2-t2
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=12•EG•t2+12•EG(2-t2)=12•2(t-t²4)=-14(t-2)2+1
当t=2时,S△ACG的最大值为1
(3)第一种情况如图1所示,点H在AC的上方,由菱形CQHE知CQ=CE=t,
根据△APE∽△ABC,知
APAB=AEAC即t4=2根号5-t2根号5,解得,t=20-8根号5
第二种情况如图2所示,点H在AC的下方,由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t,PE=12t
,EM=2-12t,MQ=4-2t.
则在直角三角形EMQ中,根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2-12t)2+(4-2t)2=t2
解得,t1=2013,t2=4(不合题意,舍去).
综上所述,t=20-8根号5或t=2013
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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