题目

如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4).,以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx+c过C点.动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
1)在点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?请直接写出相应的t值.

提问时间：2020-07-25

答案

（1）A（1,4）
由题意知,可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4
∵抛物线过点C（3,0）,
∴0=a（3-1）2+4,
解得,a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4,即y=-x2+2x+3
（2）∵A（1,4）,C（3,0）,
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵点P（1,4-t）．…（3分）
∴将y=4-t代入y=-2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+t2
∴点G的横坐标为1+t2,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4-t²4
∴GE=（4-t²4）-（4-t）=t-t²4
又点A到GE的距离为t2,C到GE的距离为2-t2
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=12•EG•t2+12•EG（2-t2）=12•2（t-t²4）=-14（t-2）2+1
当t=2时,S△ACG的最大值为1
（3）第一种情况如图1所示,点H在AC的上方,由菱形CQHE知CQ=CE=t,
根据△APE∽△ABC,知
APAB=AEAC即t4=2根号5-t2根号5,解得,t=20-8根号5
第二种情况如图2所示,点H在AC的下方,由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t,PE=12t
,EM=2-12t,MQ=4-2t．
则在直角三角形EMQ中,根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即（2-12t)2+（4-2t）2=t2
解得,t1=2013,t2=4（不合题意,舍去）．
综上所述,t=20-8根号5或t=2013