题目

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=-2x²+4x，
（1）求f（x）解析式；
（2）求当x∈[a，a+2]，时，f（x）最大值．

提问时间：2020-07-25

答案

（1）设f（x）=ax²+bx+c，
a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=-2x²+4x，
2ax²+2bx+2a+2c=-2x²+4x，

a＝−1 b＝2 c＝1

，∴f(x)＝−x2+2x+1．
（2）f（x）=-（x-1）²+2，
①a+2＜1即a＜-1，当x=a+2，f（x）_max=-a²-2a+1；
②a≤1≤a+2即-1≤a≤1，当x=1，f（x）_max=2；
③a＞1，当x=a，f（x）_max=-a²+2a+1；
故f(x)max＝

−a2−2a+1，a＜−1 2，−1≤a≤1 −a2+2a+1，a＞1

（1）因为函数为二次函数，设出解析式代入到f（x+1）+f（x-1）=-2x²+4x，求出f（x）的解析式即可；
（2）因为此二次函数为开口向下的抛物线，讨论区间[a，a+2]在二次函数对称轴左边右边和之间三种情况得到函数的最大值即可．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．

考点点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，理解函数最值及几何意义的能力．