题目

关于x的方程ax³-x²+x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个实数解，则a的取值范围为______．

提问时间：2020-07-25

答案

关于实数x的方程ax³-x²+x+1=0的所有解中，仅有一个正数解⇔a=

1

x

-

1

x2

-

1

x3

有仅有一个正实数解．
令

1

x

=t（t≠0），t的符号与x的符号一致，则a=-t³-t²+t有且仅有一个正实数解，
令f（t）=-t³-t²+t（t≠0），
f′（t）=-3t²-2t+1，由f′（t）=0得t=

1

3

或t=-1．
又t∈（-1，

1

3

）时，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（

1

3

，+∞）时，f′（t）＜0．所以[f（t）]_极大值=f（

1

3

）=

5

27

．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
结合三次函数图象，如图．
综上所述，实数a的取值范围为a≤0或a=

5

27

．
故答案为：a≤0或a=

5

27

．