题目

面积为16cm²的三角形的三条中线所构成的三角形的面积
并简述理由

提问时间：2020-07-25

答案

设三角形ABC,以其中线为边的三角形为PQR,
则S△PQR=S△ABC（3/4）=16*3/4=12cm^2.
设三角形ABC,三条中线AD、BE、CF相交于重心G,
延长GD至M,使DM=GD连结MB、MC,
四边形BGCM是平行四边形,
BG=CM,GM=2GD=AG,
BD=CD,
S△GCM=2S△CDG,
S△ABD=S△ADC=S△ABC/2,
根据重心的性质,
AG=2DG,
S△CDG=S△AGC/2==S△ADC/3=S△ABC/6,
S△GCM=S△ABC/3,
GC/CF=MC/BE=GM/AD=2/3,
设以三条中线为边的三角形是PQR,
△GMC∽△PQR,
S△GMC/S△PQR=（2/3)^2=4/9,
S△PQR=9S△GMC/4,
∴S△PQR=(9/4)*S△ABC/3=3S△ABC/4.