题目

数列1.4.13.40.121……的排列规律是这样的从第二个数开始,每个数都比前一个数的三倍多一,这个数列的前100个数的和是奇数还是偶数?

提问时间：2020-07-25

答案

∵每个数都比前一个数的三倍多一
∴可写出数列递推式：an=3a(n-1)+1,a1=1
设an+x=3[a(n-1)+x]
∴an=3a(n-1)+2x
∴2x=1,x=1/2
∴an+1/2==3[a(n-1)+1/2]
∴﹛an+1/2﹜是等比数列
∴an+1/2=(a1+1/2)3^(n-1)=3/2×3^(n-1)
∴an=3/2×3^(n-1)-1/2
前n项和为Sn=3/2×(1-3^n)/(1-3)-n/2=3/4(3^n-1)-n/2
∴S100=3/4×(3^100-1)-50
=3/4(3^50-1)(3^50+1)-50
=3/4(3^25-1)(3^25+1)(3^50+1)-50
∵3^n是奇数
∴3^25-1,3^25+1,3^50+1都是偶数,也就是说收含有因数2
∴(3^25-1)(3^25+1)(3^50+1)是8的倍数
∴3/4(3^25-1)(3^25+1)(3^50+1)是3/4×8=6的倍数,也就是说是偶数
而50也是偶数
所以 S100是偶数
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