题目

在平面直角坐标系中,有一个以F1（0,-根号3）和F2（0,根号3）为焦点,离心率为二分之根号3的椭圆
设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与X,Y轴的交点分别为A,且向量OM=OA向量+OB向量。
求M的轨迹方程和OM向量模的最小值。

提问时间：2020-07-25

答案

F1（0,-根号3）和F2（0,根号3）为焦点,离心率为二分之根号3的椭圆
显然a =2 ,c =√3,b =1,
椭圆方程为x²/4 + y²/1 =1;
椭圆在第一象限的部分
设P点为(x0,y0)
y' = -x0(2√(4-x²0))为过P点的切线的斜率
y - y0 =-x0(2√(4-x²0))*(x -x0)为切线方程
所以,A点为(4/x0,0),同理,B点为(0,1/y0),
OM=OA向量+OB向量 --->M(4/x0,1/y0);
令x =4/x0, 1/x =x0/4, 同理1/y =y0
因为椭圆满足
x²0/4 + y²0/1 =1; (x0/4*2)² +y²0 =1;
-->(2/x)² +(1/y)² =1为M的轨迹方程
M(4/x0,1/y0);x²0/4 + y²0/1 =1; 可另x0 =2cosa ;y0 =sina;
OM² =(2/cosa)² + (1/sina)² = 2-t/t(1-t) (t =cos²a) =u(0用判别式可求出最值u>=1/2 .
|OM|>=√2/2