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题目
已知函数f(x)的图象关于原点对称,并且当x>0时,f(x)=x2-2x+3,试求f(x)在R上的表达式,并画出它的图象,根据图象写出它的单调区间.

提问时间:2020-07-25

答案
∵f(x)的图象关于原点对称,
∴f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
又f(x)在R上,∴f(0)=-f(0),解得f(0)=0.
设x<0,则-x>0,
∵当x>0时,f(x)=x2-2x+3,
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x+3=-f(x)
∴f(x)=-x2-2x-3 于是有f(x)=
x2−2x+3
0
x2−2x−3
(x>0)
(x=0)
(x<0)

图象如图所示,
由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调减区间为(-1,0),(0,1).
确定函数为奇函数,设x<0,则-x>0,利用函数解析式,可得结论,从而可得函数的图象,即可求得函数的单调区间.

奇偶性与单调性的综合.

本题考查函数解析式的确定,考查数形结合的数学思想,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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