题目
已知常数a.b满足a>1>b>0,若f(x)=lg(a*-b*)在大于1的范围上取正值,且f(2)=lg2,求a.b的值
a*是a的x方,
a*是a的x方,
提问时间:2020-07-25
答案
因为f(x)=lg(a^x-b^x)在大于1的范围上取正值,
故此时应当有:a^x-b^x>1
又a>1>b>0
故u(x)=a^x在x>1时为增函数,而v(x)=-b^x在x>1时亦为增函数
从而F(x)=u(x)+v(x)=a^x-b^x在x>1时为增函数
分析“f(x)=lg(a^2-b^2)在x>1时取正值”这句话,它隐藏一个条件“x=1时,f(x)=0
故F(1)=a-b=1
另外:由题意f(2)=lg2
即a^2-b^2=2,解得:a=3/2,b=1/2.
故此时应当有:a^x-b^x>1
又a>1>b>0
故u(x)=a^x在x>1时为增函数,而v(x)=-b^x在x>1时亦为增函数
从而F(x)=u(x)+v(x)=a^x-b^x在x>1时为增函数
分析“f(x)=lg(a^2-b^2)在x>1时取正值”这句话,它隐藏一个条件“x=1时,f(x)=0
故F(1)=a-b=1
另外:由题意f(2)=lg2
即a^2-b^2=2,解得:a=3/2,b=1/2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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