题目

一道类似IQ的数学题求大神帮助
在黑板上写有一个缺系数和常数项的多项式：x^3+()x^2+()x+() 现有两个人做填数字游戏：第一个人在任一个空位内填上一个非零整数（可正 可负）,接着,第二个人在剩下的两个空位中任选一个填上一个整数,最后,第一个人在余下的空位上填一个整数 求证：不管第2个人怎么填数 第一个人总能使所得多项式可分解为三个一次因式的积,并且每个因式的x系数为1,常数项为整数

提问时间：2020-07-25

答案

证明：设第一人填的是A,第二人填的是B,第三人填的是C：x^3+Ax^2+Bx+C又设多项式分解因式后为：(x-a)(x-b)(x-c)(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+1)x^2+(a+b+ab)x-ab=x^3+Ax^2+Bx+C左右两式恒等,对比对应的系数有：-(a+b+1)=A,a+b+ab=B,-ab=C由前两式得：-ab=-A-B-1再联合第三式得：C=-A-B-1由此可知：如果第一人填任意数A,第二人填任意数B,则第三人只需填上数-A-B-1,即可保证所得的三次多项式可分解为三个一次因式的积,并且每个因式的x的系数为1,常数项为整数.由于对任意数整数A,B都存在特定的整数C=-A-B-1,故命题得证