题目

当0≤x≤1时，不等式sin

πx

2

≥kx成立，则实数k的取值范围是______．

提问时间：2020-07-25

答案

由题意知：
∵当0≤x≤1时 sin

πx

2

≥kx
   （1）当x=0时，不等式sin

πx

2

≥kx恒成立  k∈R
   （2）当0＜x≤1时，不等式sin

πx

2

≥kx可化为
      k≤

sin πx 2

x

 
     要使不等式k≤

sin πx 2

x

恒成立，则k≤(

sin πx 2

x

)min成立
     令f（x）=

sin πx 2

x

  x∈（0，1]
     即f'（x）=

π 2 xcos πx 2  −sin πx 2

x2

            再令g（x）=

π

2

 xcos

πx

2

−sin

πx

2

     
     
     g'（x）=-

π2

4

xsin

πx

2

   
∵当0＜x≤1时，g'（x）＜0
∴g（x）为单调递减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f'（x）＜0
   即函数f（x）为单调递减函数
   所以 f（x）min=f（1）=1      即k≤1
   综上所述，由（1）（2）得  k≤1
   故此题答案为 k∈（-∞，1]．

此题先把常数k分离出来，再构造成k≤

sin πx 2

x

再利用导数求函数的最小值，使其最小值大于等于k即可．

本题考点：函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题型．