题目
直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,则弦AB中点的轨迹方程为?这个是怎么消去参数k的
由题知抛物线焦点为(1,0)
当直线的斜率存在时,设为k,则焦点弦方程为y=k(x-1)
代入抛物线方程得所以k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由题意知斜率不等于0,
方程是一个一元二次方程,由韦达定理:
x1+x2=
2k2+4
k2
所以中点横坐标:x=
x1+x2
2
=
k2+2
k2
代入直线方程
中点纵坐标:
y=k(x-1)=
2
k
.即中点为(
k2+2
k2
,
2
k
)
消参数k,得其方程为
y2=2x-2
当直线斜率不存在时,直线的中点是(1,0),符合题意,
y2=2x-2
由题知抛物线焦点为(1,0)
当直线的斜率存在时,设为k,则焦点弦方程为y=k(x-1)
代入抛物线方程得所以k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由题意知斜率不等于0,
方程是一个一元二次方程,由韦达定理:
x1+x2=
2k2+4
k2
所以中点横坐标:x=
x1+x2
2
=
k2+2
k2
代入直线方程
中点纵坐标:
y=k(x-1)=
2
k
.即中点为(
k2+2
k2
,
2
k
)
消参数k,得其方程为
y2=2x-2
当直线斜率不存在时,直线的中点是(1,0),符合题意,
y2=2x-2
提问时间:2020-07-25
答案
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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