题目

设有N个实数X1,X2,...,XN,其中每一个数不是+1就是-1,且X1/X2+X2/X3+...+XN-1/XN+XN/X1=0,求证：N是4的倍

提问时间：2020-07-25

答案

变成X1×X2+X2×X3+...+XN-1×XN+XN×X1=0
首先,正数项和负数项相等
其次,负项源自xk的变号,不妨设x1,x2是第一次变号,且由正号变为负号,经历一系列的变号后,因为最后是xNx1,即最终要变为x1正号,所以最后一次一定是负号变为正号,这样序列只能经过偶数次变号才能实现,于是
X1×X2+X2×X3+...+XN-1×XN+XN×X1
中有偶数个负的,而正数项和负数项相等,且都是偶数,
项数N一定是4的倍数.