题目

已知F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且

PF1

⊥

PF2

，若△PF₁F₂的面积为9，则b的值为（　　）
A. 3
B. 2

3

C. 4
D. 9

提问时间：2020-07-25

答案

∵|PF1| +|PF2| =2a，
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1| •|PF2| =4a²；①
又

PF1

⊥

PF2

，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c²，②
∴①-②得：2|PF1| •|PF2| =4（a²-c²）=4b²，
∴

1

2

|PF1| •|PF2| =b²，
∵△PF₁F₂的面积为9，
∴S△PF1F2=

1

2

|PF1| •|PF2| =b²=9，b>0，
∴b=3．
故选A．

由椭圆的定义知|PF1| +|PF2| =2a①，依题意，|PF1|2+|PF2|2=4c²，②对①式两端平方后与②联立可得|PF1| •|PF2| ，再由△PF₁F₂的面积为9，即可求得b的值．

本题考点：椭圆的简单性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系．

考点点评：本题考查椭圆的简单性质，考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查化归思想与运算能力，属于中档题．