题目
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间【0,2】上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间【-8,8】上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=写出解题过程 .为什么说这个是周期为8 的函数,怎么看的啊?
提问时间:2020-07-25
答案
解;令x=t+2 代入f(x-4)=-f(x)得 f(t+2-4)=-f(t+2)
即f(t-2)=-f(t+2)
又f(x)是奇函数 f(t-2)= -f(2-t)
所以 - f(t+2)= - f(2-t) 即 f(2+t)=f(2-t) …………(1)式
即直线x=2是f(x)对称轴
对于定义域包含0的奇函数,显然有 f(0)=0
也可简单算得 f(-4)= -f(0)=0 ,f(x)以8为周期:f(-8)=0
f(4)=0 ,f(8)=0
(画图说明) 先画[0,2]一段,可以任意画一段 只要满足增函数即可 注意f(0)=0
再根据x=2是对称轴画[2,4]段
在根据f(x)是奇函数 图像关于原点对称 画[-4,0]那段
再根据x=2是对称轴 画[4,8]段 其和[0,-4]段关于x=2对称
最后根据原点对称画[-8,-4]段
画完后你会发现 要求f(x)=m(m>0) 的解 就是求y=m(m>0)与f(x)的交点
根据图你可以得到 共有四个交点 其中两个在区间(-8,-4)关于x=-6对称 另外两个在区间(0,4)关于x=2对称
所以x1+x2+x3+x4=2*(-6)+2*2=-8
参考以下:
f(x)为奇函数,f(0)=0,
f(x-4)=-f(x),f(4)=0,
f(x-8)=-f(x-4)=f(x),所以f(x)是周期为8的函数,f(8)=0.
在区间【0,2】上是增函数,那么在此区间f(x)>0,根据f(x-4)=-f(x),
在区间【4,8】f(x)
即f(t-2)=-f(t+2)
又f(x)是奇函数 f(t-2)= -f(2-t)
所以 - f(t+2)= - f(2-t) 即 f(2+t)=f(2-t) …………(1)式
即直线x=2是f(x)对称轴
对于定义域包含0的奇函数,显然有 f(0)=0
也可简单算得 f(-4)= -f(0)=0 ,f(x)以8为周期:f(-8)=0
f(4)=0 ,f(8)=0
(画图说明) 先画[0,2]一段,可以任意画一段 只要满足增函数即可 注意f(0)=0
再根据x=2是对称轴画[2,4]段
在根据f(x)是奇函数 图像关于原点对称 画[-4,0]那段
再根据x=2是对称轴 画[4,8]段 其和[0,-4]段关于x=2对称
最后根据原点对称画[-8,-4]段
画完后你会发现 要求f(x)=m(m>0) 的解 就是求y=m(m>0)与f(x)的交点
根据图你可以得到 共有四个交点 其中两个在区间(-8,-4)关于x=-6对称 另外两个在区间(0,4)关于x=2对称
所以x1+x2+x3+x4=2*(-6)+2*2=-8
参考以下:
f(x)为奇函数,f(0)=0,
f(x-4)=-f(x),f(4)=0,
f(x-8)=-f(x-4)=f(x),所以f(x)是周期为8的函数,f(8)=0.
在区间【0,2】上是增函数,那么在此区间f(x)>0,根据f(x-4)=-f(x),
在区间【4,8】f(x)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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