题目

已知椭圆x^2/16+y^2/9=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点.
则点P到x轴的距离为____________

提问时间：2020-07-25

答案

椭圆中,a=4,b=3,c²=16-9=7,设P(x,y),则点P到x轴的距离为|y|.
分两种情况.
(1)若P是直角顶点,则　PF1⊥PF2,|PF1|²+|PF2|²=4c²
4a²=(|PF1|+|PF2|)²=|PF1|²+|PF2|²+2|PF1|•|PF2|=4c²+2|PF1|•|PF2|
即 64=28+2|PF1|•|PF2|
|PF1|•|PF2|=18
设⊿PF1F2的面积为S,则2S=|PF1|•|PF2|=|F1F2|•|y|
所以|y|=9√7/7
由于|y|²=81/7>9,|y|>3,不合题意,舍去.
(2)若一焦点（如F2)是直角顶点,则　PF2⊥F1F2,|PF1|²-|PF2|²=4c²
(|PF1|+|PF2|)(|PF1|-|PF2|)=4c²
8(|PF1|-|PF2|)=28,|PF1|-|PF2|=7/2
又|PF1|+|PF2|=8
所以|PF2|=9/4,即|y|=9/4
点P到x轴的距离为9/4