题目

一个自然数恰好有18个约数，那么它最多有______个约数的个位是3．

提问时间：2020-07-25

答案

根据因数个数的公式反推，情况一：
18=2×3×3=（1+1）×（2+1）×（2+1），这个自然数可能是M×N²×K²的形式；
则使其个位含3的因数最多的可能是：M是个位为3的质数、N是个位为1的质数、K是个位为1的质数，
则个位含3的因数个数有：（2+1）×（2+1）=9个；
情况二：18=3×6=（2+1）×（5+1）
这个自然数可能是MM²×N⁵的形式；
则使其个位含3的因数最多的可能是：M是个位为3的质数、N是个位为1的质数，则个位含3的因数个数有5+1=6个；粗略考虑其他情况如：7的3次方尾数为3等，均使得M、N可用的幂次数大大下降，则个位含3的因数个数无法超过2×4、3×3的情况，即不会比9多．
综上，一个自然数恰好有18个因数，最多有9个因数个位是3．
故答案为：9．