题目

已知函数f（x）=e^x（x²+ax+1）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．

提问时间：2020-07-25

答案

f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+1]（2分）
（1）f'（2）=e²[4+2（a+2）+a+1]=0，解得a=-3（4分）
（2）令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=-1-a
当a=0时，无极值（7分）
当a＞0，-1＞-1-a，f（x）在（-∞，-1-a），（-1，+∞）上递增，（-1-a，-1）上递减
极大值为f（-1-a）=e^-1-a（a+2），极小值f(−1)＝

2−a

e

（10分）
当a＜0时，-1＜-1-a，f（x）在（-∞，-1），（-1-a，+∞）上递增，（-1，-a-1）上递减
极大值为f(−1)＝

2−a

e

，极小值f（-1-a）=e^-1-a（a+2）（13分）

（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；
（2）对参数a进行分类，先研究f（x）的单调性，利用导数求解f（x）在R上的最小值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值即得．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．

考点点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力．