题目

已知实数a，b分别满足a³-3a²+5a=1，b³-3b²+5b=5，则a+b的值为______．

提问时间：2020-07-25

答案

由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数．
将已知等式变形为（a-1）³+2（a-1）=-2，（b-1）³+2（b-1）=2，
构造函数f（x）=x³+2x，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数
∵f′（x）=3x²+2＞0
∴f（x）单调递增
∴f（x）是一个单调递增的奇函数，
因为f（a-1）=-2，f（b-1）=2
所以f（a-1）=-f（b-1）=f（1-b），
从而有a-1=1-b，a+b=2
故答案为2