题目

1.一个圆圆心为椭圆右焦点,且该圆过椭圆中心,交椭圆于P,直线PF（F为该椭圆左焦点）是此圆切线,则椭圆离心率是?
答案为√3-1（根号下只有3）
2.关于参数方程的问题我突然记不清了,椭圆 双曲线 抛物线的参数方程标准式,分可以追加.

提问时间：2020-07-25

答案

设椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1
右焦点F1（c,0)
则圆的方程：(x-c)^2+y^2=r^2(r为圆的半径）
该圆过椭圆中心,则有：c^2=r^2,c=r
圆的方程变为：（x-c)^2+y^2=c^2
P点是椭圆和圆的交点,PF2直线与圆相切,F2(-c,0)
因为F1F2=2C,PF1=c
所以PF2与X轴的夹角=30度
P的一个纵坐标=c√3/2
过y=c√3/2的PF2的直线方程y=x√3/3+m
代入F2（-c,0）,m=c√3/3
y=(√3/3)(x+c),代入y=c√3/2得到P点的横坐标
x=c/2
P(c/2,c√3/2)满足椭圆方程
b^2c^2/4+3a^2c^2/4=a^2b^2
又,b^2=a^2-c^2
所以,a^2c^2-c^4+3a^2c^2=4a^2(a^2-c^2)
4a^2c^2-c^4=4a^4-4a^2c^2
4e^2-e^4=4-4e^2
e^4-8e^2+4=0
e^2=[8±√(64-4*4)]/2=(√3±1)^2
因为,0所以,e=√3-1
2、圆的方程（x-a)^2+(y-b)^2=r^2
O(a,b)为圆心,r为圆的半径
椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1
a>b>0,c^2=a^2-b^2,e=c/a(0 焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)
双曲线方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1
a>0,b>0,c^2=a^2+b^2,e=c/a(e>1)
焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)
抛物线方程：y^2=2px
e=1,焦点坐标（p/2,0)