题目

如图2-①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为

a

2

（如图2-②），则图2-①中的水面高度为 ___ ．

提问时间：2020-07-24

答案

令圆锥倒置时水的体积为V′，圆锥体积为V
 则

V′

V

=(

a 2

a

)3=

1

8

正置后：V_水=

1

8

V
则突出的部分V_空=

7

8

V
设此时空出部分高为h，则
h³：a3=

7

8

，
∴h =

3 7

2

a
故水的高度为：a-

3 7

2

a
故答案为：a-

3 7

2

a

圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比．

本题考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

考点点评：此题若用V水=V台计算是比较麻烦的，因为台体的上底面半径还需用 h1＝13h导出来，我们用V水=V锥-V空，而V空与V锥的体积之间有比例关系，可以直接求出．