题目

已知直线y=ax+1与双曲线3x^2-y^2=1相交于两点A、B,问是否存在实数a,使得A、B两点关于直线y=3x对称

提问时间：2020-07-24

答案

设A(x1,y1),B(x2,y2)
因为A、B关于y=3x对称,则y=3x为线段AB的垂直平分线
则A、B所在直线也就是y=ax+1与y=3x垂直,所以a=-1/3
且线段AB中点在y=3x上,即3(x1+x2)=(y1+y2),
因为(y1+y2)=ax1+ax2+2=-1/3(x1+x2)+2,所以3(x1+x2)=-1/3(x1+x2)+2
所以 x1+x2=3/5
联立直线与双曲线方程得(3－a^2)x^2－2ax－2＝0
得x1+x2=2a/(3-a^2)=-3/13
与上面所得x1+x2的值矛盾
因此不存在这样的a使命题成立.