题目

平面直角坐标系xoy中过椭圆m:a方分之x平方加上b方分之y的平方等于1右焦点的直线x+y－√
＝0交M于A,B两点P为AB的中点,且OP的斜率为½
问:求M的方程

提问时间：2020-07-24

答案

（Ⅰ）把右焦点（c,0）代入直线x+y-
3
=0得c+0-
3
=0,解得c=
3
．
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,线段AB的中点P（x0,y0）,
则
x 21
a2
+
y 21
b2
=1,
x 22
a2
+
y 22
b2
=1,相减得
x 21
-
x 22
a2
+
y 21
-
y 22
b2
=0,
∴
x1+x2
a2
+
y1+y2
b2
×
y1-y2
x1-x2
=0,
∴
2x0
a2
+
2y0
b2
×(-1)=0,又kOP=
1
2
=
y0
x0
,
∴
1
a2
-
1
2b2
=0,即a2=2b2．
联立得
a2=2b2
a2=b2+c2
c=
3
,解得
b2=3
a2=6
,
∴M的方程为
x2
6
+
y2
3
=1．