题目

高中数学必修5不等式与函数的问题.
已知关于x的二次函数f(x)=ax^2-2x+2（a为常数）对于满足1＜x＜4的一切x的值都有f(x)＞0,求常数a的取值范围.

提问时间：2020-07-24

答案

讨论开口方向,图形结合.
Δ=4-8a,对称轴x=1/a
①前提是a＜0,即抛物线开口朝下,也就是说当x在(1,4)的范围的时候,图像在x轴的上方.此时Δ＞0,f（1）＞0,f（4）＞0,由三个式子解得,无解
②前提是a＞0,
i)Δ＜0时,符合此条件的图像一直在x轴的上方,所以符合要求,此时解得a＞1/2
ii)Δ≥0时,解得0＜a≤1/2.即a≤1/2
此时的对称轴x=1/a应该是在（2,0）的右边.根据画图可以看出,应列式如下
对称轴1/a≥4,解得0＜a≤1/4
特殊值f（4）＞0,解得a＞3/4,两解综合空解
③前提是a＝0 ,此时是直线方程,代入两头会看到不符合条件的
综上可得,只有当a＞1/2时符合条件