题目

已知关于x的方程x²+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0有实数根，又k为正整数，求代数式

k2−1

k2+k−6

的值．

提问时间：2020-07-24

答案

设方程x²+3x+a=0①的两个根为x₁、x₂，则

x1+x2＝−3 x1•x2＝a △＝9−4a≥0

由条件知

1

x1

+

1

x2

＝

x1+x2

x1•x2

=3
即

−3

a

＝3且a≤

9

4

，故a=-1．（5分）
则方程（k-1）x²+3x-2a=0②为（k-1）x²+3x+2=0
当k-1=0即k=1时，

k2−1

k2+k−6

=0；
当k-1≠0时，△=9-8（k-1）=17-8k≥0，∴k≤

17

8

．
又∵k是正数，且k-1≠0，∴k=2，但使

k2−1

k2+k−6

无意义．
综上，代数式

k2−1

k2+k−6

的值为0．（10分）

由于关于x的方程x²+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0有实数根，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．

本题考点：根与系数的关系；根的判别式．

考点点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求a的值与方程判别式的关系．