题目

证明:对任意正整数n,不等式ln（n+1）/n<（n+1）/（n^2）

提问时间：2020-07-24

答案

令f(x)=xln(x+1)－xlnx－(x+1)/x,x>=1.
则f'(x)=ln(x+1)－lnx+x/(x+1)－1+1/x^2,
f''(x)=1/(x+1)－1/x+1/(x+1)^2－2/x^3=－1/【(x+1)x】+1/(x+1)^2－2/x^3＝－1/【x(x+1)^2】－2/x^3<0
于是f'(x)是递减函数,注意到lim (x趋于无穷)f'(x)=lim ln(1+1/x)+1/x^2－1/(x+1)=0,因此f'(x)>0对任意的x>=1.
故f(x)是递增函数,但lim (x趋于无穷)f(x)=lim 【xln(1+1/x)－(x+1)/x】＝0,于是f(x)<0对所有的x成立.即有ln(1+1/x)<(x+1)/x^2,x>=1时.令x取正整数即可.