题目

已知数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

提问时间：2020-07-24

答案

（1）

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4)=6a2

解得a₁=1，q=2
∴a_n=2^n-1
（2）T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ
两式相减得-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1

（1）利用已知条件，列出关于等比数列的首项与公比的方程组，求出首项与公比，利用等比数列的通项公式求出通项．
（2）由于b_n是有一等差数列与等比数列的积构成的数列，利用错位相减的方法求出前n项和．

本题考点：数列的求和；等比数列的通项公式．

考点点评：求数列的前n项和，一般先求出通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．