题目

已知函数f(x)=

lnx+a

x

(a∈R)．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y-1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．

提问时间：2020-07-24

答案

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，
所以f′(x)=

1-lnx-a

x 2

．
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y-1=0平行，
所以f'（1）=1-a=1，即a=0．
（Ⅱ）令f'（x）=0，得x=e^1-a．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

由表可知：f（x）的单调递增区间是（0，e^1-a），单调递减区间是（e^1-a，+∞）．
所以f（x）在x=e^1-a处取得极大值，f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1．

（I）欲求a的值，根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再列出一个等式，最后解方程组即可得．
（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，最后求出极值即可．

本题考点：A:利用导数研究曲线上某点切线方程 B:利用导数研究函数的单调性

考点点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．