题目

关于函数单调
定义在R上的函数y=f(X).f(0)不等于0 当x大于0时 f（x）大于1且任意的a ,b都属于R ,有f（a+b）=f（a）×f（b） （1） 求证,对任意的属于R的x恒宇f（x）大于0 （2）求证f（x）是R上的增函数 （3） 若f（x）·f（2x－x²）＞1,求x的取值范围

提问时间：2020-07-24

答案

(1)f（a+b）=f（a）×f（b） ,令a,b为0.解得f（0）=1
令b=-a,代入f（a+b）=f（a）×f（b）,得到f（a）*f（-a）=1
即,f（a）与f（-a）互为倒数.令a大于0.即f（a）大于1
所以f（-a）=1/f（a）大于0,小于1恒成立.所以对x属于R,f（x）大于0
(2)若f（x）在R上为增函数,设a大于b,即【f（b）/f（a）】小于1
所以f（a+b）/f（a）=f（b）,代入式子,得到f（a+b）小于f（a）×f（a）
成立,所以f（x）在R上为增函数
(3)根据f（a+b）=f（a）×f（b）,得f（3x-x^2）大于1
又因为x大于0时,f（x）大于1.所以只需3x-x^2大于0即可
解得x属于（0,3）