题目

已知函数f(x)＝sin(2x+

π

6

)−cos(2x+

π

3

)+2cos2x．
（1）求f(

π

12

)的值；
（2）求f（x）的最大值及相应x的值．

提问时间：2020-07-24

答案

（1）f(

π

12

)=sin(2×

π

12

+

π

6

)-cos(2×

π

12

+

π

3

)+2cos2

π

12

=sin

π

3

-cos

π

2

+1+cos

π

6

=

3

2

-0+1+

3

2

=

3

+1
（2）∵f(x)=sin(2x+

π

6

)-cos(2x+

π

3

)+2cos2x
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

-cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

+cos2x+1
=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
∴当sin(2x+

π

6

)=1时，f（x）_max=2+1=3，
此时，2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

(k∈Z)，

（1）把x=

π

12

直接代入函数解析式求解．
（2）先利用和差角公式对函数进行化简可得，f(x)＝2sin(2x+

π

6

)+1，结合正弦函数的性质可求．

本题考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的最值．

考点点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，还考查了三角函数的性质，属于知识的简单综合．