题目

拉格朗日中值定理的证明题
设f(x)在[0,1]上连续.在(0,1)内可导,求证:存在ξ属于(0,1),使f'(ξ)=[f(ξ)-f(a)]/[b-ξ]
问题的题设搞错了，应该是 设f(x)在[a,b]上连续.在(a,b)内可导，求证:存在ξ属于(a,b),使f'(ξ)=[f(ξ)-f(a)]/[b-ξ]

提问时间：2020-07-24

答案

设F(x)=(x-b)*f(x)
因为f(x)在[a,b]上可导,所以F(x)在[a,b]上亦可导
则F'(x)=f(x)+(x-b)*f'(x)
F(a)=(a-b)*f(a)
F(b)=0
对F(x)在[a,b]上运用拉格朗日定理：
存在ξ∈[a,b],使得F'(ξ)=[F(b)-F(a)]/(b-a)
代入F(a),F(b)的值：
F'(ξ)=-(a-b)*f(a)/(b-a)=f(a)
根据前面求出的F'(x)的表达式,代入ξ,可得出：
F'(ξ)=f(ξ)+(ξ-b)*f'(ξ)=f(a)
化简即可得到要求证的式子：f'(ξ)=[f(ξ)-f(a)]/(b-ξ)
即,存在ξ∈[a,b],使得
f'(ξ)=[f(ξ)-f(a)]/(b-ξ)