题目

已知数列1,1+2,1+2+2的平方,1+2+2的平方+2的三次方,…,1+2+2的平方+…+2n-1次方.求这个数列的通项公式an
(2)求这个数列的前n项和Sn。
且做出第二小题的

提问时间：2020-07-24

答案

ps：2^1表示2的1次方,下同
(1)解题过程
如果你直接看不除这个数列的通向公式an=2^n - 1 ,可按下面的方法做
1=2^0
2=2^1
……
如此,每项的加数可以看作 等比数2^(n-1) 公比为2,起始项为1
要求 数列1,1+2,1+2+2的平方,1+2+2的平方+2的三次方
只要对 等比数2^(n-1) 求前N项和就可以了
公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
a1=1
q=2
带入即可得通向公式 an=2^n - 1
（2）答案：Sn=2*(2^n-1)-n
过程：
先将通向公式 an=2^n - 1 拆为 2^n 和 -1 这两部分
分别求前N项和
即： 2^n 的前N项和=2*(2^n-1) [使用了上面的等差数列前N项和公式]
常数列 -1 前N项和=-n
然后再把这两个前N项和公式相加,就时所求
即：Sn=2*(2^n-1)-n

实际上很复杂的数列求前N项和,都可以利用对每个加减法关系的项单独求Sn然后再加和的方法进行求解.