题目

已知偶函数f(x)是定义域为R,且恒满足f(x+2)=f(2-x),若方程f(x)=0在[0,4]上只有三个实根,且一个根是4,
已知偶函数f(x)是定义域为R,且恒满足f(x+2)=f(2-x),若方程f(x)=0在[0,4]上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间【-8,10】中的根

提问时间：2020-07-24

答案

f(x+2)=f(2-x)
所以：x=2是函数的对称轴
既然,f(x)=0有一个根为4,即f(4)=0
则：f(0)=0, 所以：x=0是一个根
而f(x)=0在[0,4]上只有三个实根,
则第三个根只能是：x=2, 所以：f(2)=0
f(x+2)=f(2-x)=f(x-2)
所以：f(x)=f(x+4),所以f(x)的周期为4
因f(0)=0
则:f(10)=f(2+2*4)=f(2)=0
f(-8)=f(8)=f(0+2*4)=f(0)=0
f(-6)=f(6)=f(2+4)=f(2)=0
f(-4)=f(4)=0
f(-2)=f(2)=0
f（0）=0
所以,方程在区间【-8,10】中共有10个根：
x=10,8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8