题目

关于x的二次方程x²+（m-1）x+1=0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．

提问时间：2020-07-23

答案

设f（x）=x²+（m-1）x+1，x∈[0，2]．
（1）f（x）=0在区间[0，2]上有一解．
∵f（0）=1＞0，∴应有f（2）≤0⇒m≤-

3

2

．
（2）f（x）=0在区间[0，2]上有两解，则

△≥0 ⇒   (m-1)2-4≥0 ⇒   m≥3或m≤-1 0≤- m-1 2 ≤2 ⇒   -3≤m≤1 f(2)≥0 ⇒   4+(m-1)×2+1≥0 ⇒   m≥- 3 2

∴-

3

2

≤m≤-1．
由（1）（2）知：m≤-1．

先对关于x的二次方程x²+（m-1）x+1=0在区间[0，2]上有解分有一解和有两解两种情况讨论，再对每一种情况分别求对应的m的取值范围，最后综合即可．

本题考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题考查了分类讨论的数学思想和一元二次方程根的分布与系数的关系．分类讨论，就是对问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的解答，实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．