题目
已知函数f(x)=x|x-a|+2x.若存在a∈[-3,3],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,则实数t的取值范围是( )
A. (
,
)
B. (1,
)
C. (1,
)
D. (1,
)
A. (
9 |
8 |
5 |
4 |
B. (1,
25 |
24 |
C. (1,
9 |
8 |
D. (1,
5 |
4 |
提问时间:2020-07-22
答案
当-2≤a≤2时,f(x)在R上是增函数,
则关于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三个不等的实数根,…(2分)
则当a∈(2,3]时,由f(x)=
,
得x≥a时,f(x)=x2+(2-a)x,对称轴x=
<a,
则f(x)在x∈[a,+∞)为增函数,此时f(x)的值域为[f(a),+∞)=[2a,+∞),
x<a时,f(x)=-x2+(2+a)x,对称轴x=
<a,
则f(x)在x∈(-∞,
]为增函数,此时f(x)的值域为(-∞,
],
f(x)在x∈[
,a)为减函数,此时f(x)的值域为(2a,
];
由存在a∈(2,3],方程f(x)=tf(a)=2ta有三个不相等的实根,
则2ta∈(2a,
),
即存在a∈(2,3],使得t∈(1,
)即可,
令g(a)=
=
(a+
+4),
只要使t<(g(a))max即可,而g(a)在a∈(2,3]上是增函数,
∴(g(a))max=g(3)=
,
故实数t的取值范围为(1,
);…(15分)
同理可求当a∈[-3,-2)时,t的取值范围为(1,
);
综上所述,实数t的取值范围为(1,
).…(17分)
故选B.
则关于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三个不等的实数根,…(2分)
则当a∈(2,3]时,由f(x)=
|
得x≥a时,f(x)=x2+(2-a)x,对称轴x=
a−2 |
2 |
则f(x)在x∈[a,+∞)为增函数,此时f(x)的值域为[f(a),+∞)=[2a,+∞),
x<a时,f(x)=-x2+(2+a)x,对称轴x=
a+2 |
2 |
则f(x)在x∈(-∞,
a+2 |
2 |
(a+2)2 |
4 |
f(x)在x∈[
a+2 |
2 |
(a+2)2 |
4 |
由存在a∈(2,3],方程f(x)=tf(a)=2ta有三个不相等的实根,
则2ta∈(2a,
(a+2)2 |
4 |
即存在a∈(2,3],使得t∈(1,
(a+2)2 |
8a |
令g(a)=
(a+2)2 |
8a |
1 |
8 |
4 |
a |
只要使t<(g(a))max即可,而g(a)在a∈(2,3]上是增函数,
∴(g(a))max=g(3)=
25 |
24 |
故实数t的取值范围为(1,
25 |
24 |
同理可求当a∈[-3,-2)时,t的取值范围为(1,
25 |
24 |
综上所述,实数t的取值范围为(1,
25 |
24 |
故选B.
当-2≤a≤2时,f(x)在R上是增函数,则关于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三个不等的实数根;当a∈(2,3]时和当a∈[-3,-2)时,等价转化f(x)的表达式,利用函数的单调性能得到实数t的取值范围.
根的存在性及根的个数判断.
本题考查函数恒成立问题的应用,考查运算求解能力,推理论证能力,考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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英语翻译
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