题目

已知等比数列{a_n}的各项均为不等于1的正数，数列{b_n}满足b_n=lna_n，b₃=18，b₆=12，则数列{b_n}前n项和的最大值为______．

提问时间：2020-07-22

答案

∵等比数列{a_n}的各项均为不等于1的正数，
数列{b_n}满足b_n=lna_n，b₃=18，b₆=12，
∴a₃=a₁q²=eb3=e¹⁸，
a6＝a1q5=eb6=e¹²，
∴

a6

a3

=q³=

e12

e18

=e^-6，
解得q=e^-2，a₁=

a3

q2

=

e18

e−4

=e²²，
∴{a_n}的通项公式为an＝e22•(e−2)n−1=e^24-2n，
∵数列{b_n}满足b_n=lna_n，
bn＝lne24−2n=24-2n，
当n=12时，b_n=0
则当n≥12时，b_n＜0
∴{b_n}的前n项和S_n取最大值时，n=12，
∴S_n的最大值是S₁₂=

12

2

(b1+b12)=6（24-2+24-24）=132．
故答案为：132．