题目

求由正整数组成的集合S,使S中的元素之和等于元素之积

提问时间：2020-07-22

答案

若集合中只有一个元素显然成立.
若集合中有两个元素,设为a,b,则ab=a+b,（a-1)(b-1)=1,a=b=2,这与a!=b矛盾,所以集合中至少三个元素.
设三个元素为a,b,c,并设1<=a0都是正整数且k!=m,所以m>k>=1,所以abc-(a+b+c)=a^3+(k+m)a^2+kma-3a-(k+m)>=1+(k+m)a+km-3a-(k+m)=(k-1)(m-1)+(k+m-3)a>=(1-1)(2-1)+(1+2-3)a=0,所以abc>=a+b+c,等号成立时时a=1,b=2,c=3.
当S中至少有四个元素,易知任意两个大于1的数的积大于它们的和,设S={a1,a2,……,an},n>=4,且a1a1a2a3+a4a5……an>……>a1a2a3+a4a5a6+……+a(n-4)a(n-3)a(n-2)+a(n-1)an>a1+a2+a3+a4+a5+a6+……+a(n-4)+a(n-3)+a(n-2)+a(n-1)+an,若n除以3余1,则a1a2a3……an>a1a2a3+a4a5……an>……>a1a2a3+a4a5a6+……+a(n-3)a(n-2)a(n-1)+an>a1+a2+a3+……+an,若n是3的倍数,则a1a2a3……an>a1a2a3+a4a5a6+……+a(n-2)a(n-1)an>a1+a2+……+an,所以S是不满足条件的.
所以只有S={1,2,3}这一种情况.