题目

设函数f(x)=ax^3/3+b^x+4cx+d的图像关于原点对称,f（x）的图像在点p（1,m）处的切线斜率为-6,且当x=2时f（x）有极值.
（1）求a、b、c、d的值
（2）若x1、x2均属于【-1,1】,求证|f（x1）-f（x2）|小于等于44/3.
谢谢!

提问时间：2020-07-21

答案

(1) f(x)=ax^3/3+b^x+4cx+d的图像关于原点对称,那么f(x)是奇函数,由奇函数加和而成,b^x和d不是奇函数所以bd=0,f(x)=ax^3/3+4cx,
f '(x)=ax^2+4c,
f '(1)=a+4c=-6,f '(2)=4a+4c=0,解得a=2 c=-2
(2) f(x)=2x^3/3-8x
f '(x)=2x^2-8 在【-1,1】上恒小于0,所以在【-1,1】上f(x)单调递减,
|f（x1）-f（x2）|≤f(-1)-f(1)=-2/3+8-2/3+8=44/3